BILANGAN
CACAH
MAKALAH
Untuk
Memenuhi Tugas Mata Kuliah
Matematika
MI/SD
Yang
dibina oleh Musrikah, S.Pd.I, M.Pd.
Disusun
Oleh:
Kelompok
2
1.
Risma Nur Izzati (17205153002)
2.
Vivi Kurnia Sari (17205153016)
3.
Siti Nur Aisyah Azzahro (17205153046)
4.
Alik Khusna Farida (17205153052)
JURUSAN PENDIDIKAN GURU MADRASAH IBTIDAIYAH
FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI
TULUNGAGUNG
September 2016
FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI
TULUNGAGUNG
September 2016
KATA
PENGANTAR
Segala puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah swt.yang telah melimpahkan rahmat serta hidayah-Nya
kepada kita semua. Sholawat serta
salam semoga tetap terlimpahkan
kepada junjungan besar kita Nabi Muhammad saw.dan semoga kita akan selalu
mendapat syafaatnya baik didunia maupun di akhirat kelak.
Dengan pertolongan dan hidayah-Nya
penulis dapat menyusun makalah
ini untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika MI/SD yang berjudul BILANGAN
CACAH.
Kami menyadari tanpa bantuan dari berbagai pihak penulisan makalah ini
tidak mungkin terlaksana dengan baik.Oleh karena itu penulis menyampaikan
ucapan terima kasih kepada :
1.
Dr. Mafthukin,
M.Ag. selaku Rektor IAIN Tulungagung yang telah memberikan
kesempatan kepada kami untuk menimba ilmu di IAIN Tulungagung ini,
2.
Musrikah, S.Pd.I, M.Pd.
selaku Dosen pengampu mata kuliah
Matematika MI/SD yang telah membimbing dan mengarahkan kami dengan sabar agar
mempunyai pemahaman yang benar mengenai mata kuliah ini,
3.
Semua pihak
yang telah membantu menyelesaikan penyusunan
makalah ini.
Semoga makalah ini dapat bermanfaat dan
membuahkan ilmu yang maslahahfiidinniwadunyawalakhirah.
Tulungagung, 01 September 2016
Penulis
DAFTAR ISI
COVER............................................................................................................
KATA PENGANTAR..................................................................................... i
DAFTAR ISI................................................................................................... ii
BAB I PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang..................................................................................... 1
B.
Rumusan Masalah................................................................................. 1
C.
Tujuan Pembahasan.............................................................................. 2
BAB II PEMBAHASAN
A.
Sejarah
Bilangan Cacah........................................................................ 3
B.
Pengertian Bilangan Cacah................................................................... 5
C.
Operasi Hitung Bilangan Cacah........................................................... 6
BAB III PENUTUP
A.
Kesimpulan........................................................................................... 13
B.
Saran..................................................................................................... 13
DAFTAR PUSTAKA...................................................................................... 14
BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang
Bilangan cacah merupakan
bilangan yang dimulai dari nol, satu, dua, tiga,
dan seterusnya. Bilangan cacah bisa
digunakan dalam perhitungan praktis matematis. Apabila bilangan cacah
dihubungkan dengan operasi bilangan,
maka akan ditemukan adanya operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Selain itu, akan pula ditemukan hitungan campuran
dari operas pada bilangan cacah.
Pada hakikatnya, secara
intuitif siswa telah mengenal
bilangan cacah sebelum mereka masuk sekolah
dasar. Misalnya, ketika
seorang anak duduk di taman
kanak-kanak, anak tersebut cenderung
sudah memahami makna bilangan. Hal itu dapat kita lihat dari aktivitas mental yang mereka
tunjukkan. Misalnya ketika
dibagikan permen, dimana
masing-masing dari mereka mendapatkan satu permen, anak akan menerima hal itu. Namun
jika ada satu siswa yang mendapatkan dua permen sedangkan yang lain satu permen, maka akan timbul suatu pertanyaan ataupun
protes dari siswa siswa yang lain. Hal ini menunjukkan bahwa siswa sudah memiliki sense of number (kepekaan terhadap bilangan baik terminologi,
sifat, prinsip, maupun operasinya). Kepekaan inilah yang nantinya, akan mempermudah mereka
dalam mempelajari materi bilangan cacah pada tahap berikutnya. Jadi, sebenarnya
disini kita hanya tinggal mengaplikasikan apa yang telah para siswa alami di
dalam kehidupan sehari-hari ke dalam wadah yang bisa dikatakan lebih formal,
yakni di institusi pendidikan tepatnya mata pelajaran matematika bab bilangan
cacah.
B. Rumusan Masalah
1.
Bagaimana
sejarah bilangan cacah?
2.
Bagaimana
pengertian bilangan cacah?
3.
Bagaimana
operasi hitung bilangan cacah?
C. Tujuan Pembahasan
1.
Untuk
menjelaskan sejarah bilangan cacah.
2.
Untuk
menjelaskan pengertian bilangan cacah.
3.
Untuk
menjelaskan operasi hitung bilangan cacah.
BAB II
PEMBAHASAN
A.
Sejarah dan Bilangan Cacah
Sebenarnya sejak awal
peradaban, manusia telah mengenal ilmu matematika. Hanya saja pada waktu itu
matematika tidak memakai angka-angka seperti pada zaman sekarang. Pada zaman
dahulu untuk menunjukkan bilangan, manusia hanya menggunakan simbol-simbol
seperti potongan kayu, simpul-simpul pada kayu atau anggota badan, seperti
tangan.
Tetapi
seiring perkembangan zaman, penggunaan simbol untuk menunjukan bilanganpun
mulai ditinggalkan. Hal ini terjadi karena para matematikawan mulai
berlomba-lomba dalam mengembangkan sistem bilangan. Pada Awalnya, berhitung
dengan bilangan hanya terdiri dari 1,2,3,4,5,6,7,8,dan
9. Dan baru kemudian pada sekitar abad kedelapan, seorang
matematikawan muslim dari negeri persia yang dikenal dengan nama Al-Khawarizmi, menyempurnakan sistem ini dengan
memperkenalkan bilangan nol. Sehingga,
terdapat suatu sistem bilangan 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9....
yang kemudian disebut sebagai bilangan cacah.[1]
Penemuan bilangan nol ini
dilatar belakangi oleh sebuah penjelasan di dalam al-qur’an yang secara
tersurat membahas tentang operasi pengurangan. Tepatnya pada surat al-Ankabut
ayat 14, Allah swt. berfirman:
Artinya: “Dan
sesungguhnya kami telah mengutus Nuh kepada kaumnya, maka ia tinggal di antara
mereka seribu tahun kurang lima puluh
tahun. Maka mereka ditimpa banjir besar, dan mereka adalah orang-orang yang
zalim.”[2]
Bila dikaji lebih mendalam,
tanpa kita sadari ayat diatas sebenarnya menyuratkan tentang operasi hitung
pengurangan 1000-50. Hal inilah yang mendorong Al-Khawarizmi untuk mulai
mengembangkannya secara lebih lanjut. Ia berfikir bahwa di dalam kehidupan, kelak
kita tidak akan hanya berbicara tentang 1000-50, tetapi pengurangan-pengurangan
yang lain tentunya. Semisal 20-19, 24-6 dan lain sebagainya. Lalu bagaimana
jika pada saatnya akan ditemui 2-2, 5-5, ataupun 1000-1000?, maka pengurangan
inilah yang menghasilkan bilangan baru, yaitu 0 (nol atau nil atau null) dan 0
bukan bilangan asli.[3]
Jadi, bisa disimpulkan
bahwa dari penemuan Al-Khawarizmi diatas diperlukan sebuah himpunan bilangan
baru yang dapat menampung semua bilangan asli yakni 1, 2, 3, 4,..... dan
bilangan 0. Gabungan dari 2 jenis bilangan tersebutlah yang kemudian
menghasilkan sebuah himpunan baru bernama himpunan bilangan cacah (whole numbers). Yang perlu diingat
dalam bilangan cacah, membilang dimulai dari yang tidak ada, yang dilambangkan
dengan 0 (nol), 1, 2, 3,....
Ada
juga sumber lain yang menyebutkan bahwa bilangan cacah mempunyai satu nama lain,
yakni gugus bilangan asli. Karena, awal kegiatan manusia pada peristiwa
membilang dimulai ketika seorang anak mulai mengelompokkan benda-benda menjadi
gugus-gugus. Mungkin yang diamati mula-mula adalah jemari yang ada pada tangan
mereka, maka dilihatnya ada lima jari yang berbeda rupa tetapi mempunyai
kemiripan. Maka “lima” adalah sifat banyaknya benda pada tangan. Kemudian, dari hal
itulah manusia mulai menciptakan lambang bagi masing-masing bilangan. Orang babilonia menciptakan
lambang–lambang khusus bagi enampuluh bilangan asli pertama, tetapi penemuan
yang paling praktis untuk penggunaan sehari-hari adalah penggunaan lambang
hindu-arab 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 untuk bilangan “satu”, ”dua”, ”tiga”, ”empat”, ”lima”, ”enam”, ”tujuh”, ”delapan”, ”sembilan”. Kemudian, diciptakankan
lambang 0 untuk bilangan “nol” yang merupakan bilangan kardinal gugus kosong. [4]
B. Pengertian Bilangan Cacah
Dari penjelasan sebelumnya, sebenarnya sudah dapat dipahami mengenai apa
pengertian bilangan cacah itu. Tetapi untuk lebih jelasnya disini kami akan
memaparkan secara lebih mendalam mengenai pengertian bilangan cacah. Bilangan
cacah dapat didefinisikan sebagai :
1.
Himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}.
2.
Himpunan bilangan asli ditambah 0. Jadi, bilangan
cacah harus bertanda positif. Himpunan bilangan cacah : C = {0, 1, 2, 3, 4,
....}[5]
3.
Bilangan
yang digunakan untuk menyatakan cacah anggota atau kardinalitas suatu himpunan.
Maksudnya, jika suatu himpunan yang karena alasan tertentu tidak mempunyai
anggota sama sekali, maka cacah anggota himpunan itu “nol” dan dinyatakan
dengan lambang atau angka “0”. Jika anggota dari suatu himpunan hanya terdiri
dari satu anggota saja maka cacah anggota tersebut adalah “satu” dan dinyatakan
dengan lambang atau angka “1”, dan demikian seterusnya.[6]
Jadi, singkatnya bilangan cacah adalah bilangan
yang dimulai dari angka nol. Bilangan cacah biasanya disimbolkan dengan huruf “C” (cacah)
ataupun “W” (whole). Sehingga apabila
kita ingin menuliskan himpunan bilangan cacah ataupun seluruh unsur bilangan
cacah kita bisa menuliskannya seperti ini C= (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12,...dst.)
Himpunan
bilangan cacah juga memuat beberapa himpunan bilangan lainnya, seperti:
1.
Himpunan
bilangan asli = {1, 2, 3, 4, ...}
2.
Himpunan
bilangan genap = {0, 2, 4, 6, ...}
3.
Himpunan
bilangan ganjil = {1, 3, 5, 7, ...}
4.
Himpunan
bilangan kuadrat = {0, 1, 4, 9, ...}
5.
Himpunan
bilangan prima = {2, 3, 5, 7, ...}
C.
Operasi Hitung Bilangan Cacah
1.
Penjumlahan
Pada awalnya siswa belajar penjumlahan dengan
menggunakan obyek, misalnya: jika dua apel dan tiga buah apel yang diambil dari suatu keranjang buah maka
banyak apel yang terambil dari keranjang adalah penjumlahan 2+3. Ide mengambil
bersama dan menggabungkan merupakan makna dari penjumlahan.
Adapun dalam hal ini, definisi pada bilangan
cacah adalah jika suatu R memiliki r
elemen, dan himpunan S merupakan himpunan saling lepas maka penjumlahan r dan s
dinyatakan dengan r+s yang merupakan elemen dari gabungan himpunan R dan S.[8]
Selanjutnya dapat digunakan cara yang lebih
praktis, yaitu dengan menggunakan penjumlahan bersusun sebagaimana ditunjukan
berikut ini:
3 2 5
2 5 6 +
1
1
7
5
+
5
8 1
Sifat operasi pada penjumlahan bilangan
cacah:
a.
Bilangan
cacah bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan. Makna dari sifat tertutup
operasi penjumlahan pada bilangan cacah adalah jika suatu bilangan cacah
dijumlahkan suatu bilangan cacah maka hasilnya merupakan bilangan cacah.[9]
b.
Memiliki
identitas penjumlahan yaitu nol. Identitas adalah jika suatu bilangan a
dioperasikan dengan bilangan lain misal b dan hasilnya bilangan itu sendiri (a)
maka dikatakan b sebagai identitas. Maka, b + 0 = 0 + b= b
c.
Berlaku
sifat asosiatif (pengelompokkan) pada operasi penjumlahan untuk sembarang
bilangan cacah a, b, c berlaku: a + (b + c) =(a + b) + c
d.
Sifat
komulatif pada penjumlahan a + b = b + a[10]
2. Pengurangan
Pengurangan dapat
dipahami sebagai pengambilan suatu obyek dari suatu kumpulan obyek. Proses
pengambilan atau pengurangan dapat dinyatakan sebagai kebalikan dari proses penggabungan atau
penjumlahan.[11] Jika dalam penjumlahan,
jumlahnya dan salah satu penjumlahnya sudah diketahui, maka proses penentuan unsur penjumlahan yang
lainnya menuntut operasi pengurangan. Oleh karena itu, dalam prakteknya jika
sebuah bilangan cacah a dikurangi dengan bilangan cacah b menghasilkan bilangan
cacah c (dilambangkan a-b = c), maka operasi bilangan yang terkait adalah b+c =
a.[12]
Pada operasi pengurangan
tidak memenuhi sifat- sifat yang dimiliki oleh
operasi penjumlahan, kecuali sifat tertutup.
Sifat–sifat pengurangan antara lain seperti berikut:
a.
Operasi pengurangan tidak memenuhi sifat
tertutup, sebab tidak setiap a dan b bilangan cacah menghasilkan a-b bilangan
cacah pula.
b.
Operasi pengurangan tidak memenuhi sifat pertukaran,
sebab tidak untuk setiap a dan b akan berlaku a – b =
b - a. Pengurangan a – b = b – a hanya akan dipenuhi oleh
bilangan-bilangan yang sama, yakni a = b.
c.
Operasi pengurangan juga tidak memenuhi sifat
identitas, sebab kita dapat menentukan sembarang bilangan cacah a sehinga a – 0
≠ 0 – a. Misalnya a = 2, maka 2 – 0 ≠ 0 – 2.
d.
Begitu juga operasi pengurangan juga tidak memenuhi
sifat pengelompokkan. Sebab bisa diperoleh bilangan-bilangan cacah a,b dan c
sehingga menghasilkan ketidaksamaan (a - b) - c ≠ a - (b - c). Contohnya jika a
= 8, b = 4, c = 2, maka nilai untuk pengurangan (a - b) - c = (8 - 4) - 2
= 4 -2 = 2, sedangkan nilai untuk pengurangan 8 - (4 - 2)= 8 – 2 = 6. Sehingga
jelas, 2 ≠ 6.[13]
Ada juga beberapa macam konsep pengurangan
pada bilangan cacah, di antaranya :
a.
Konsep mengambil
Contoh: Ada 9 telur di dalam kulkas. Jika 3 telur
diambil oleh ibu, berapa banyak telur yang tersisa?
9 – 3 = 6 Jadi, ada 6 telur yang tersisa di dalam
kulkas.
b.
Konsep membandingkan
Contoh: Zahrok memiliki 12 sosis, sedangkan Alik
memiliki 5 sosis. Berapa lebihnya sosis Zahrok dari sosis Alik?
12 – 5 = 7 Jadi, Zahrok mempunyai 7 sosis lebih
banyak dari Alik.
c.
Konsep
menambahkan bilangan yang sesuai[14]
Di dalam keranjang sudah ada 5 buah apel. Jika Vivi
ingin mengisi keranjang tersebut dengan 10 buah apel, maka berapa banyak apel
yang harus ditambahkan Vivi ke dalam keranjang tersebut?
5 +...= 10
jadi 10 - 5 = 5 Jadi, apel yang harus ditambahkan pada keranjang
tersebut adalah 5 buah.
Pengurangan bilangan cacah meliputi pengurangan
bilangan satu digit, pengurangan bilangan dua digit dengan bilangan satu digit,
dan pengurangan multidigit.
a.
Pengurangan bilangan satu digit dengan bilangan satu
digit dapat digunakan bantuan tongkat, lidi, sedotan, ataupun jari tangan.
b.
Pengurangan bilangan dua digit oleh bilangan satu
digit dapat digunakan hitung mundur atau melengkapkan sampai dengan bilangan
yang dimaksud. Sebagai contohnya 13 – 5, dapat diselesaikan dengan cara
berhitung mulai dari angka 5 dan berhenti pada angka 13. Setiap kali berhitung
satu, jari ditekuk satu dan banyaknya jari yang ditekuk merupakan hasil dari
pengurangan yang dimaksud.
c.
Pengurangan multi digit
Untuk
mengilustrasikan pengurangan dapat digunakan benda konkrit sebagaimana pada
penjumlahan. Model untuk pengurangan bilangan dua digit dikurangi bilangan dua
digit dapat digunakan tongkat ataupun
pengurangan bersusun yang dapat dilakukan berdasarkan nilai tempatnya.[15]
3.
Perkalian
Untuk bilangan cacah r dan s, hasil dari r dan s
adalah jumlah s sebanyak r kali. Hal ini ditulis sebagai :
r x s = s + s + s + s......+ s sebanyak r[16]
Alogaritma (urutan langkah-langkah logis
penyelesaian masalah yang disusun secara logis dan sistematis) menggunakan
perkalian bersusun untuk perkalian 3 x 145 dapat dijelaskan sebagai berikut:
pertama kalikan lima 5 dengan 3.
Tuliskan 5 pada digit satuan dan 1 puluhan pada digit puluhan seperti tampak
pada gambar dibawah ini. Selanjutnya 4 dikalikan 3 sehingga diperoleh 12. Sisa
1 puluhan pada pengerjaan sebelumnya ditambahkan pada 12 sehingga diperoleh 13
dan ditulis 3 pada digit puluhan dan menyimpan 1 pada digit ratusan . Pola itu
dilanjutkan sehingga diperoleh hasil 435. Proses tersebut dapat diamati dibawah
ini:
1 1
1 4 5
3 x
4 3 5[17]
Adapun sifat-sifat operasi perkalian bilangan
cacah adalah sebagai berikut:
1.
Operasi
perkalian pada bilangan cacah bersifat tertutub
2.
Ada
unsur identitas pada perkalian
3.
Berlaku
sifat komutatif pada operasi perkalian seperti
a x b = b x a
4.
Berlaku
sifat asosiatif pada operasi perkalian seperti
a x (b x c) = (a x b) x c[18]
4.
Pembagian
Operasi pembagian pada
dasarnya merupakan kebalikan dari operasi perkalian. Jika sebuah bilangan cacah
a dibagi bilangan cacah b menghasilkan bilangan cacah c (dilambangkan dengan a
: b = c), maka konsep perkalian yang bersangkutan adalah c x b = a. operasi
pembagian pada dasarnya juga merupakan suatu proses pencarian tentang bilangan
yang belum diketahui. Karena bentuk pembagian dapat dipandang sebagai suatu
bentuk operasi perkalian dengan salah satu faktornya belum diketahui.[19]
Sebagaimana operasi
pengurangan maka operasi pembagian juga tidak memenuhi sifat komutatif
(pertukaran), assosiatif (pengelompokan), identitas, dan juga tidak memenuhi
sifat distributif (penyebaran), akan tetapi memenuhi sifat tertutup.
Operasi`
pembagian dalam bilangan cacah memiliki memiliki beberapa sifat, seperti yang tertera di
bawah ini:
Untuk
semua bilangan bulat p, q, dan r berlaku sifat-sifat:
1)
Pembagian
dengan bilangan 0
0
÷ p = 0
2)
Pembagian
dengan bilangan 1
p
÷ 1 = p
3)
Distributif
perkalian terhadap penjumlahan (satu sisi)
(q
+ r) ÷ p = (q ÷ p) + (r ÷ p)
4)
Distributif
perkalian terhadap penjumlahan (satu sisi)
(q
- r) ÷ p = (q ÷ p) - (r ÷ p)
Untuk setiap a, b, c, p, q dan r bilangan cacah berlaku
1)
sifat
bilangan 0 dalam pembagian
0
: a = 0 untuk a ≠ 0
a
: 0 = tak didefinisika
0 : 0 = tidak tentu
2)
(
a:b ) : c = a : ( b: c) ;
syarat : b faktor dari a dan c faktor dari b[20]
3)
(
abc) : ( pqr) = a/p x b/q x c/r ;
syarat : a, b, c,p, q, r merupakan
bilangan asli.
p
faktor dari a
q
faktor dari b
r
faktor dari c
4)
a
: b = ( ca) : ( cb) ;
syarat : c≠ 0 dan b faktor dari a
5)
a
: b = [ a/c] : [b/c] ;
syarat b faktor dari a dan c faktor dari
b
6)
(
a : b) : c = a : ( b: c) ;
syarat : b dan c faktor-faktor dari a
7)
(
a : b) : c = ( a :c ) : b ;
syarat : b dan c faktor-faktor dari a
8)
Sifat
distributif pembagian terhadap penjumlahan:
( a + b) : c = [ a/c] + [b/c] ; syarat : c faktor dari a dan b
9)
Sifat
distributif pembagian terhadap pengurangan :
( a – b) : c = a/c – b/c ; syarat : a > b dan c faktor
dari a dan b
10) Jika a < b , c faktor dari
a dan b maka a/c < b/c[21]
Dalam operasi bilangan
cacah, pembagian juga memiliki
dua konsep yaitu yang pertama adalah konsep partisi, dimana proses untuk menentukan hasil pembagian 22
: 2 diilustrasikan memiliki 2 puluhan dan 2 satuan, kemudian 2 puluhan tadi dipisahkan
kedalam 2 tempat sehingga tiap-tiap tempat berisi 1 puluhan. Begitupun dengan 2
satuan dipisahkan kedalam 2 tempat sehingga tiap-tiap tempat berisi 1 satuan.
Sehingga pada akhirnya masing-masing kelompok memiliki anggota 1 puluhan dan 1
satuan, jadi hasil dari 22 : 2 = 11 (1 puluhan + 1 satuan 10 + 1). Dan yang kedua adalah konsep pengukuran atau juga biasa
disebut pengurangan berulang sehingga sisanya nol. Misalnya 10 : 2 = 10 – 2 – 2
– 2 – 2 – 2. Hasil dari
pembagian tersebut adalah jumlah pengulangan angka yang dikurangkan, pada
contoh diatas hasilnya adalah 5. Seperti halnya di dalam operasi pengurangan
bilangan cacah, di dalam operasi pembagian ini juga tidak berlaku sifat-sifat
pertukaran, identitas, pengelompokan, dan distributif.
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
1.
Sejarah
bilangan cacah berawal ketika seorang matematikawan muslim dari negeri persia yang
dikenal dengan nama Al-Khawarizmi,
menyempurnakan sistem bilangan dengan memperkenalkan bilangan nol. Penemuan ini
dilatar belakangi oleh sebuah penjelasan di dalam al-qur’an yang secara
tersurat membahas tentang operasi pengurangan, yakni pada surat al-Ankabut ayat
14.
2.
Bilangan
cacah merupakan bilangan yang dimulai dari angka nol. Bilangan cacah biasanya
disimbolkan dengan huruf “C” (cacah) ataupun “W” (whole).
3.
Operasi
hitung pada bilangan cacah terdiri dari operasi penjumlahan, pengurangan,
perkalian, dan pembagian. Dan masing-masing dari operasi tersebut mempunyai
sifatnya tersendiri.
B.
Saran
Saran sehubungan dengan materi yang dibahas yakni
bilangan cacah, menurut kelompok kami hendaknya sebagai calon pendidik, dalam
mengajarkan materi mengenai bilangan cacah kepada siswa-siswi MI/SD kelak kita
hendaknya mengaitkan materi yang kita ajarkan kedalam kehidupan sehari-hari
agar siswa-siswi bisa lebih mudah mengerti. Dan saran sehubungan dengan makalah
ini, tiada gading yang tak retak dengan kata lain makalah ini tak luput dari
kekurangan. Oleh sebab itu, kami
mengharapkan kritik dari berbagai pihak demi lebih baiknya makalah ini.
DAFTAR PUSTAKA
Abdussakir. 2009. Matematika 1: Kajian Integratif Matematika dan Al-Qur’an. Malang:
UIN-Malang Press.
Al-Qur’an dan
Terjemahnya. Surah Al-Ankabut ayat 14.
Fathani,
Abdul Halim. 2009. Matematika Hakikat dan
Logika. Yogyakarta: Arruz Media.
Hutahuruk, Naipopos. 2004. Kamus Matematika. Jakarta: Erlangga.
Musrikah. 2014.
Matematika untuk Guru MI/SD.
Tulungagung: IAIN Tulungagung Press.
Mutijah
dan Ifada Novitasari. 2009. Bilangan dan
Aritmatika. Yogyakarta: Grafindo Literamedia.
Nasoetion, Andi Hakim.
2001. Landasan Matematika. Jakarta: Bhratara Karya Aksara.
Rahayu, Nurhayati. 2009. Matematika itu Gampang. Jakarta: Transmedia.
Setyo
Winarni, Endang. 2011. Matematika Untuk
PGSD. Bandung: Remaja Rosdakarya
Soewito. 2002. Pendidikan
Matematika 1. Jakarta: Depdikbud Dirjen Dikti P2TK.
Teguh. 2005. Pembelajaran Konsep
Nilai Tempat Bilangan Cacah di Kelas Rendah Sekolah Dasar. Yogyakarta:
Edukasi Press.
Wahyu
Purnomo, Yoppy. 2015. Pembelajaran
Matematika untuk PGSD. Jakarta: Erlangga.
[1] Abdul Halim Fathani, Matematika Hakikat dan Logika, (Yogyakarta: Arruz Media, 2009),
hal. 26.
[2] Al-Qur’an dan Terjemahnya, Surah Al-Ankabut ayat 14, hal. 630.
[3]Abdussakir, Matematika
1: Kajian Integratif Matematika dan Al-Qur’an, (Malang: UIN-Malang Press,
2009), hal. 88-89.
[5] Naipopos Hutahuruk, Kamus Matematika, (Jakarta: Erlangga, 2004), hal. 38.
[6] Mutijah dan Ifada Novitasari, Bilangan dan Aritmatika, (Yogyakarta: Grafindo Literamedia, 2009),
hal. 44.
[7] Soewito, Pendidikan
Matematika 1, (Jakarta: Depdikbud Dirjen Dikti P2TK, 2002), hal. 91.
[8] Musrikah, Matematika
untuk Guru MI/SD , (Tulungagung : IAIN Tulungagung Press, 2014), hal. 13.
[9] Musrikah, Matematika
untuk Guru MI/SD..., hal. 13.
[11] Ibid, hal. 15.
[12] Ibid, hal. 47.
[13] Yoppy Wahyu Purnomo, Pembelajaran Matematika untuk PGSD, (Jakarta: Erlangga, 2015), hal.
64.
[14] Musrikah, Matematika untuk Guru MI/SD..., hal. 16.
[15] Teguh, Pembelajaran Konsep Nilai Tempat Bilangan Cacah di Kelas Rendah Sekolah
Dasar, (Yogyakarta: Edukasi Press, 2005), hal. 71-73.
[16] Musrikah, Matematika
untuk Guru MI/SD..., hal. 16.
[17] Musrikah, Matematika
untuk Guru MI/SD..., hal. 17.
[19] Nurhayati Rahayu, Matematika itu Gampang, (Jakarta: Transmedia, 2009), hal. 56.
[20] Endang Setyo Winarni, Matematika Untuk PGSD, (Bandung: Rosda, 2011), hal. 75.
[21] Endang Setyo Winarni, Matematika untuk PGSD..., hal. 77.
Latar belakangnya apa sehingga diambil 3 rumusan masalah atau permasalah diatas
BalasHapus